【題目】某工藝品廠要設(shè)計(jì)一個(gè)如圖1所示的工藝品，現(xiàn)有某種型號(hào)的長(zhǎng)方形材料如圖2所示，其周長(zhǎng)為4m，這種材料沿其對(duì)角線折疊后就出現(xiàn)圖1的情況．如圖，ABCD（AB＞AD）為長(zhǎng)方形的材料，沿AC折疊后AB'交DC于點(diǎn)P，設(shè)△ADP的面積為S2 ， 折疊后重合部分△ACP的面積為S1 ．
（Ⅰ）設(shè)AB=xm，用x表示圖中DP的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（Ⅱ）求面積S2最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬？
（Ⅲ）求面積（S1+2S2）最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長(zhǎng)和寬？

【答案】解：（Ⅰ）由題意，AB=x，BC=2﹣x，∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2

設(shè)DP=y，則PC=x﹣y，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，

由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2

即： .

（Ⅱ）記△ADP的面積為S2，則 ．

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，S2取得最大值．

故當(dāng)材料長(zhǎng)為 ，寬為 時(shí)，S2最大．

（Ⅲ）

于是令 ，∴

∴關(guān)于x的函數(shù) 在 上遞增，在 上遞減，

∴當(dāng) 時(shí)，S1+2S2取得最大值．

故當(dāng)材料長(zhǎng)為 ，寬為 時(shí)，S1+2S2最大


【解析】（Ⅰ）設(shè)DP=y，根據(jù)圖2將PC、AD用x，y表示，由圖1可知，則PA=PC，在中，根據(jù)勾股定理列出等式；（Ⅱ）利用均值定理即可求解；（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)F（t）=lnt-，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)F（t）的單調(diào)性.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知F為拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M到x軸的距離為d，|AB|=2d+1．
（1）求p的值；
（2）過(guò)A，B分別作C的兩條切線l1 ， l2 ， l1∩l2=N．請(qǐng)選擇x，y軸中的一條，比較M，N到該軸的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin2x的圖象向左平移 個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，下列關(guān)于y=g（x）的說(shuō)法正確的是（ ）
A.圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣ ，0）中心對(duì)稱(chēng)
B.圖象關(guān)于x=﹣ 軸對(duì)稱(chēng)
C.圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣ ，0）中心對(duì)稱(chēng)
D.圖象關(guān)于x=﹣ 軸對(duì)稱(chēng)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2，且滿(mǎn)足a1+a2+…+an﹣an+1=﹣2．
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足 ，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知定義在R上的函數(shù) ，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣a（x+1）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將集合M={1，2，3，…15}表示為它的5個(gè)三元子集（三元集：含三個(gè)元素的集合）的并集，并且這些三元子集的元素之和都相等，則每個(gè)三元集的元素之和為；請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足上述條件的集合M的5個(gè)三元子集 ． （只寫(xiě)出一組）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC，側(cè)棱PA=2，底面三角形ABC為正三角形，邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影為D，有AD⊥DB，且DB=1．
（Ⅰ）求證：AC∥平面PDB；
（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；
（Ⅲ）線段PC上是否存在點(diǎn)E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求 的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣1+aex ．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）求f（x）的極值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=kx﹣1沒(méi)有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC為正三角形．

（Ⅰ）證明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案