Question

8．若函數(shù)y₁=x₁lnx₁，函數(shù)y₂=x₂-3，則${（{x_1}-{x_2}）^2}+{（{y_1}-{y_2}）^2}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線及其平行線之間的斜率關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：令f（x）=xlnx，g（x）=x-3，
f′（x）=lnx+1，令lnx₀+1=1，解得x₀=1，
∴可得y=x與曲線f（x）=xlnx相切于點(diǎn)P（1，0），與g（x）=x-3平行，
∴點(diǎn)P到直線g（x）=x-3的距離d的平方即為所求，
d=$\frac{|-1+3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值為2，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線及其平行線之間的斜率關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．