Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AB=3，CD=2，PD=AD=5．E是PD上一點(diǎn)．
（1）若PB∥平面ACE，求$\frac{PE}{ED}$的值；
（2）若E是PD中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作平面α∥平面PBC，平面α與棱PA交于F，求三棱錐P-CEF的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)OE，則由PB∥平面ACE得PB∥OE，于是$\frac{PE}{ED}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}$；
（2）證明AD⊥平面PCD，做出F的位置得出F到平面PCD的距離與AD的關(guān)系，代入體積公式計(jì)算．

解答 解：（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)OE．
∵PB∥平面ACE，PB?平面PBD，平面ACE∩平面PBD=OE，
∴PB∥OE，
∴$\frac{PE}{DE}=\frac{OB}{OD}$，
又△AOB∽△COD，∴$\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}=\frac{3}{2}$．
∴$\frac{PE}{DE}=\frac{3}{2}$．
（2）過(guò)E作EM∥PC交CD于M，過(guò)M作MN∥BC交AB于N，過(guò)N作NF∥PB交PA于F，連接EF．
則平面EFNM為平面α．
∵E為PD的中點(diǎn)，∴M為CD的中點(diǎn)，∴CM=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴NB=CM=1，∴$\frac{PF}{PA}=\frac{BN}{AB}=\frac{1}{3}$．
∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PD⊥AD，又AD⊥CD，PD?平面PCD，CD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD，
∵PD=AD=5，PD⊥AD，∴PA=5$\sqrt{2}$，
∴F到平面PCE的距離h=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{5}{3}$．
∴V_P-CEF=V_F-PCE=$\frac{1}{3}{S}_{△PCE}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×2×\frac{5}{3}$=$\frac{25}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．