Question

14．在△ABC中，AC=3，AB=4，BC=5，P為角平分線AT上一點(diǎn)，且在△ABC內(nèi)部，則P到三邊距離倒數(shù)之和的最小值為$\frac{19+2\sqrt{70}}{12}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，求出BC所在直線的方程為$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{4}$=1，和角A平分線AT的方程為y=x，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，令P（m，m），依題知0＜m＜$\frac{12}{7}$，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，
表示出P到三邊的距離的倒數(shù)和為，構(gòu)造函數(shù)f（m）=$\frac{2}{m}$+$\frac{5}{12-7m}$，0＜m＜$\frac{12}{7}$，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值．

解答 解：顯然△ABC為Rt△
以A為原點(diǎn)，以直角邊AC為x軸，直角邊AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系
易知B（0，4），C（3，0），角A平分線AT的方程為y=x
由截距式知BC所在直線的方程為$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{4}$=1，即4x+3y-12=0
聯(lián)立AT、BC方程易知交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）
 令P（m，m），依題知0＜m＜$\frac{12}{7}$
由點(diǎn)到直線的距離公式知P到BC的距離為$\frac{12-7m}{5}$，
則P到三邊的距離的倒數(shù)和為$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{5}{12-7m}$=$\frac{2}{m}$+$\frac{5}{12-7m}$，
令f（m）=$\frac{2}{m}$+$\frac{5}{12-7m}$，0＜m＜$\frac{12}{7}$
則f'（m）=-$\frac{2}{{m}^{2}}$+$\frac{35}{（12-7m）^{2}}$，
令f'（m）=0，即有m=$\frac{56-4\sqrt{70}}{21}$（該極值點(diǎn)在區(qū)間0＜m＜$\frac{12}{7}$上）
當(dāng)0＜m＜$\frac{56-4\sqrt{70}}{21}$時，f'（m）＜0，則f（m）遞減
當(dāng)$\frac{56-4\sqrt{70}}{21}$＜m＜$\frac{12}{7}$時，f'（m）＞0，則f（m）遞增
∴f（m）_min=f（$\frac{56-4\sqrt{70}}{21}$）=$\frac{19+2\sqrt{70}}{12}$，
故答案為：$\frac{19+2\sqrt{70}}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，培養(yǎng)的了學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．