Question

9．經(jīng)過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0右焦點F的直線1：y=$\sqrt{3}$（x-1）交橢圓C于A，B兩點，P為弦AB的中點，且OP的斜率為-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓C的左焦點為F′，求△AF′B的面積．

Answer 1

分析 （1）由直線1：y=$\sqrt{3}$（x-1），令y=0，解得x=1，c=1．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），可得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\sqrt{3}$．代入橢圓方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$=1，兩式相減可得：2a²=3b²，與a²=b²+c²，c=1聯(lián)立解出即可．
（2）由（1）可得：左焦點為F′（-1，0），點F′到直線l的距離d，直線與橢圓方程聯(lián)立化為11x²-18x+3=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|AB|=$\sqrt{[1+（\sqrt{3}）^{2}][（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，即可得出△AF′B的面積S=$\frac{1}{2}d•|AB|$．

解答 解：（1）由直線1：y=$\sqrt{3}$（x-1），令y=0，解得x=1，∴c=1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
則$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\sqrt{3}$．
代入橢圓方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$=1，
兩式相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
∴$\frac{2{x}_{0}}{{a}^{2}}+\frac{2{y}_{0}}{^{2}}×\sqrt{3}$=0，
化為$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}{9^{2}}$=0，
化為2a²=3b²，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{2{a}^{2}=3^{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b²=2，a²=3．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）由（1）可得：左焦點為F′（-1，0），點F′到直線l的距離d=$\frac{|-\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化為11x²-18x+3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{18}{11}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{11}$．
∴|AB|=$\sqrt{[1+（\sqrt{3}）^{2}][（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=2$\sqrt{（\frac{18}{11}）^{2}-4×\frac{3}{11}}$=$\frac{16\sqrt{3}}{11}$．
∴△AF′B的面積S=$\frac{1}{2}d•|AB|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{16\sqrt{3}}{11}$=$\frac{24}{11}$．

點評 本題考查了橢圓的方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式、“點差法”、斜率計算公式、中點坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．