8．如圖所示是外框?yàn)閳A形的一種圖標(biāo)．已知圓的半徑為60mm，A，B，C，D是圓周的四等分點(diǎn)，圓內(nèi)框架總長是360mm，設(shè)計(jì)要求是：矩形EFGH的周長與面積的比值最�。噯柧匦蜤FGH的長與寬各是多少mm時(shí)符合設(shè)計(jì)要求．此時(shí)的比值是多少？

分析 設(shè)矩形EFGH的長為xmm，寬為ymm，可得周長為2（x+y），面積為xy，由題意可得x+y=60，運(yùn)用基本不等式可得xy的最大值，進(jìn)而得到所求最小值及x，y的值．

解答 解：設(shè)矩形EFGH的長為xmm，寬為ymm，
周長為2（x+y），面積為xy，
由題意可得2（x+y）=360-4×60=120，
即x+y=60，
則矩形EFGH的周長與面積的比值為$\frac{2（x+y）}{xy}$=$\frac{120}{xy}$，
由xy≤（$\frac{x+y}{2}$）2=900，
可得$\frac{120}{xy}$≥$\frac{120}{900}$=$\frac{2}{15}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=30時(shí)，比值最小，且為$\frac{2}{15}$．
即有矩形EFGH的長與寬均為30mm時(shí)符合設(shè)計(jì)要求．
此時(shí)的比值是$\frac{2}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用題的解法，注意運(yùn)用基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

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