Question

（2013•陜西）設{a_n}是公比為q的等比數(shù)列．
（Ⅰ）試推導{a_n}的前n項和公式；
（Ⅱ） 設q≠1，證明數(shù)列{a_n+1}不是等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（I）分q=1與q≠1兩種情況討論，當q≠1，0時，利用錯位相減法即可得出；
（II）分①當存在n∈N^*，使得a_n+1=0成立時，顯然不成立；②當?n∈N^*（n≥2），使得a_n+1≠0成立時，使用反證法即可證明．

解答：解：（I）當q=1時，S_n=na₁；
當q≠0，1時，由S_n=a₁+a₂+…+a_n，
得qS_n=a₁q+a₂q+…+a_n-1q+a_nq．
兩式錯位相減得（1-q）S_n=a₁+（a₂-a₁q）+…+（a_n-a_n-1q）-a_nq，（*）
由等比數(shù)列的定義可得

a2

a1

=

a3

a2

=…=

an

an-1

=q，
∴a₂-a₁q=a₃-a₂q=…=0．
∴（*）化為（1-q）S_n=a₁-a_nq，
∴Sn=

a1-anq

1-q

=

a1-a1qn

1-q

=

a1(1-qn)

1-q

．
∴Sn=

na1， (q=1) a1(1-qn) 1-q ， (q≠1)

；
（Ⅱ）用反證法：設{a_n}是公比為q≠1的等比數(shù)列，數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．
①當存在n∈N^*，使得a_n+1=0成立時，數(shù)列{a_n+1}不是等比數(shù)列．
②當?n∈N^*（n≥2），使得a_n+1≠0成立時，則

an+1+1

an+1

=

a1qn+1

a1qn-1+1

=

a1q+1

a1+1

，
化為（q^n-1-1）（q-1）=0，
∵q≠1，∴q-1≠0，q^n-1-1≠0，故矛盾．
綜上兩種情況：假設不成立，故原結(jié)論成立．

點評：本題綜合考查了等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、錯位相減法、反證法等基礎知識與基本方法，需要較強的推理能力和計算能力．