Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n-1≤2a_n（n∈N^*，n≥2），則稱數(shù)列{a_n}為凸數(shù)列，已知等差數(shù)列{b_n}的公差為lnd，首項b₁=2，且數(shù)列{$\frac{_{n}}{n}$}為凸數(shù)列，則d的取值范圍是（　　）

• A． （0，e²]
• B． [e²，+∞）
• C． （2，e²]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 等差數(shù)列{b_n}的公差為lnd，首項b₁=2，可得b_n，$\frac{_{n}}{n}$=$\frac{2-lnd}{n}$+lnd．由數(shù)列{$\frac{_{n}}{n}$}為凸數(shù)列，可得$\frac{2-lnd}{n+1}+lnd+\frac{2-lnd}{n-1}+lnd$≤2$（\frac{2-lnd}{n}+lnd）$，化簡整理解出即可．

解答 解：∵等差數(shù)列{b_n}的公差為lnd，首項b₁=2，
∴b_n=2+（n-1）lnd．
∴$\frac{_{n}}{n}$=$\frac{2-lnd}{n}$+lnd，
∵數(shù)列{$\frac{_{n}}{n}$}為凸數(shù)列，
∴$\frac{2-lnd}{n+1}+lnd+\frac{2-lnd}{n-1}+lnd$≤2$（\frac{2-lnd}{n}+lnd）$，
化為（2-lnd）$（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}-\frac{2}{n}）$≤0，
∴2-lnd≤0，
解得d≥e²．
故選：B．

點評 本題考查了新定義、等差數(shù)列的通項公式、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．