Question

6．如圖，拋物線C的頂點為坐標原點，焦點F為圓x²+（y-1）²=1的圓心．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線y=kx+2交圓F于A，B兩點，線段AB的中點為M，直線MF交拋物線C于P，Q兩點，且|PQ|=16|AB|，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓的圓心坐標，然后得到p=2，即可求拋物線方程．
（Ⅱ）求出圓心F到直線AB的距離，求出AB，通過直線PQ垂直于直線AB，求出PQ方程代入x²=4y，設(shè)點P，Q的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），通過韋達定理結(jié)合已知條件，即可求出k的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意圓x²+（y-1）²=1的圓心（0，1），可得F（0，1），
∴p=2，故所求拋物線方程是x²=4y．…（4分）
（Ⅱ）圓心F到直線ABy=kx+2的距離是$\frac{1}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，所以$|{AB}|=2\sqrt{\frac{k^2}{{1+{k^2}}}}$．…（7分）
直線PQ垂直于直線AB，方程為x=-k（y-1）．…（9分）
代入x²=4y，消去x可化為k²y²-（2k²+4）y+k²=0
設(shè)點P，Q的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$．…（11分）
又因為直線PQ經(jīng)過焦點，所以$|{PQ}|={y_1}+{y_2}+2=\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}$．…（13分）
由已知可得$\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}=32\sqrt{\frac{k^2}{{1+{k^2}}}}$，得$\sqrt{\frac{k^2}{{1+{k^2}}}}=\frac{1}{2}$，故$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（15分）

點評 本題考查直線與圓錐曲線方程的綜合應(yīng)用，拋物線方程的求法，圓的圓心坐標以及切割線定理的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．