Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+2x+a

x

在[1，+∞）上單調(diào)遞增，且對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意對(duì)任意x∈[1，+∞]，f（x）＞0恒成立，所以x²+2x+a＞0對(duì)任意x∈[1，+∞]恒成立，即a＞-x²-2x，設(shè)g（x）=-x²-2x，求出最大值即可

解答： 解：若對(duì)任意x∈[1，+∞]，f（x）＞0恒成立，則f（x）=

x2+2x+a

x

＞0對(duì)任意x∈[1，+∞]恒成立，
所以x²+2x+a＞0對(duì)任意x∈[1，+∞]恒成立，
即a＞-x²-2x，設(shè)g（x）=-x²-2x
因?yàn)間（x）=-x²-2x在∈[1，+∞]上單調(diào)遞減，
所以x=1時(shí)g（x）取最大值，最大值為-3，
∴a＞-3．
故a的范圍為（-3，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，以及含所有參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是分離參數(shù)，屬于中檔題．