Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DA，E、F分別為PA、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ABCD；
（2）求證：DE⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）連接AC，根據(jù)中位線定理可得EF∥AC，結(jié)合線面平行的判定定理，可得EF∥平面ABCD；
（2）先結(jié)合已知證明平面PAD⊥平面PAB，再由面面垂直的性質(zhì)定理可得DE⊥平面PAB．

解答 證明：（1）連接AC，如圖所示：

∵E、F分別為PA、PC的中點(diǎn)．
∴EF∥AC，
又∵EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD；
（2）∵底面ABCD為正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AB，AD⊥AB，
又∵PD∩AD=D，PD，AD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
又∵AB?平面PAB，
∴平面PAD⊥平面PAB，
∵PD=DA，E為PA的中點(diǎn)．
∴DE⊥PA，
∵平面PAD∩平面PAB=PA，
∴DE⊥平面PAB．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是線面平行的判定，線面垂直，面面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化，難度中檔．