2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,n∈N*,求證:{an}是等差數(shù)列.

分析 由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,n∈N*,變形為(5n-8)an+1-10Sn=20n-8,當(dāng)n≥2時,(5n-13)an-10Sn-1=20n-28,兩式相減可得:(5n-8)an+1-(5n-3)an=20,再利用利用遞推式即可證明.

解答 證明:由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,n∈N*,變形為(5n-8)an+1-10Sn=20n-8,
當(dāng)n≥2時,(5n-13)an-10Sn-1=20n-28,
兩式相減可得:(5n-8)an+1-(5n-3)an=20,
當(dāng)n≥2時,(5n-13)an-(5n-8)an-1=20,
兩式相減可得:(5n-8)an+1+(5n-8)an-1=2(5n-8)an,
化為an+1+an-1=2an
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項公式,考查了變形能力,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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