Question

7．如圖，AB，AC為湖岸邊相互垂直的兩條直路（AB＞1km，AC＞1km），計(jì)劃在湖中距AB距離為216m，且距AC距離為512m的點(diǎn)P處建造一個(gè)觀景小亭，并修建一條經(jīng)過小亭且連接AB，AC的直的觀光長廊，設(shè)觀光長廊與AB，AC分別交于M，N
（1）設(shè)∠AMN=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），把觀光長廊MN表示為θ的函數(shù)關(guān)系式
（2）求MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得NP=$\frac{512}{cosθ}$，PM=$\frac{216}{sinθ}$；從而寫出MN即可；
（2）由題意求導(dǎo)可得f′（θ）=8（$\frac{64sinθ}{co{s}^{2}θ}$-$\frac{27cosθ}{si{n}^{2}θ}$）=8$\frac{（4sinθ）^{3}-（3cosθ）^{3}}{co{s}^{2}θsi{n}^{2}θ}$；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最小值即可．

解答 解：（1）設(shè)MN的長度為f（θ）m，
則NP=$\frac{512}{cosθ}$，PM=$\frac{216}{sinθ}$；
故f（θ）=$\frac{512}{cosθ}$+$\frac{216}{sinθ}$，（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）；
（2）f（θ）=$\frac{512}{cosθ}$+$\frac{216}{sinθ}$=8（$\frac{64}{cosθ}$+$\frac{27}{sinθ}$）；
f′（θ）=8（$\frac{64sinθ}{co{s}^{2}θ}$-$\frac{27cosθ}{si{n}^{2}θ}$）
=8$\frac{（4sinθ）^{3}-（3cosθ）^{3}}{co{s}^{2}θsi{n}^{2}θ}$；
故f（θ）在（0，$\frac{π}{2}$）上先減后增，
且當(dāng)4sinθ=3cosθ，即sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$時(shí)，
f′（θ）=0；
此時(shí)f（θ），即MN取得最小值$\frac{512}{\frac{4}{5}}$+$\frac{216}{\frac{3}{5}}$=1000．
即MN的最小值為1000m．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．