Question

14．已知函數(shù)f（x）=x+1，g（x）=x²．
（I）若關(guān)于x的方程g[f（x）]+2（m-1）x+2m=0的-個(gè)根在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（II）若函數(shù)F（x）=ag（x）+2af（x）+1-2a在區(qū)間[-3，2]上的最大值為4．求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （I）化簡(jiǎn)可得x²+2mx+2m+1=0，從而由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{（1-2m+2m+1）（2m+1）＜0}\\{（1+2m+2m+1）（4+4m+2m+1）＜0}\end{array}\right.$，從而解得；
（II）化簡(jiǎn)F（x）=a（x+1）²+1-a，從而分類討論化簡(jiǎn)求得．

解答 解：（I）∵g[f（x）]+2（m-1）x+2m=0，
∴（x+1）²+2（m-1）x+2m=0，
即x²+2mx+2m+1=0，
∵方程的兩根在區(qū)間（-1，0）與（1，2）內(nèi)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1-2m+2m+1）（2m+1）＜0}\\{（1+2m+2m+1）（4+4m+2m+1）＜0}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{5}{6}$＜m＜-$\frac{1}{2}$；
（II）F（x）=ag（x）+2af（x）+1-2a
=ax²+2a（x+1）+1-2a
=ax²+2ax+1=a（x+1）²+1-a，
∵x∈[-3，2]，∴（x+1）²∈[0，9]；
當(dāng)a＜0時(shí)，1-a=4，故a=-3，成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，9a+1-a=4，
解得，a=$\frac{3}{8}$；
故a=$\frac{3}{8}$或a=-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用．