Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（x）＞-2x的解集為（1，3），且方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，請求出f（x）的解析式；
（2）在（1）條件下，若f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x對x∈（1，2）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若f（x）＞-2x的解集為（1，3），且f（x）的最大值為正數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（4）若c=1，f（-1）=0且對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，當x∈[-3，3]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）得到b與a、c與a的關(guān)系，再由方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，利用判別式等于0求解a的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）把f（x）的解析式代入f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x整理，由f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x對x∈（1，2）恒成立，討論二次項系數(shù)，當二次項系數(shù)不等于0時利用“三個二次”的結(jié)合列關(guān)于a的不等式組求解．
（3）因為f（x）為開口向下的拋物線，利用公式當x=-

b

2a

時，最大值為

4ac-b2

4a

，即有f（x）的最大值為-

a2+4a+1

a

和a＜0聯(lián)立組成不等式組，求出解集即可．
（4）根據(jù)f（-1）=0列一個關(guān)于a、b、c的方程，再由對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，說明其對應(yīng)方程的判別式恒小于等于0，求解出函數(shù)f（x）后，借助于二次函數(shù)的對稱軸與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系求解實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）+2x＞0的解集為（1，3），
可設(shè)f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0．
因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a．①
由方程f（x）+6a=0得ax²-（2+4a）x+9a=0．②
因為方程②有兩個相等的根，所以△=[-（2+4a）]²-4a•9a=0，
即5a²-4a-1=0．解得a=1或a=-

1

5

．
由于a＜0，則a=-

1

5

，將a=-

1

5

代入①得f（x）的解析式f（x）=-

1

5

x²-

6

5

x-

3

5

；
（2）由f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x對x∈（1，2）恒成立，
即-

1

5

x²-

6

5

x-

3

5

＞（a-1）x²-3（a+1）x對x∈（1，2）恒成立，
也就是（5a-4）x²-（15a+9）x+3＜0對x∈（1，2）恒成立，
當5a-4=0，即a=

4

5

時，不等式化為x＞

1

7

，滿足x∈（1，2）；
當5a-4≠0時，要使（5a-4）x²-（15a+9）x+3＜0對x∈（1，2）恒成立，
令g（x）=（5a-4）x²-（15a+9）x+3．
則

5a-4＞0 g(1)=-10a-10≤0 g(2)=-10a-31≤0

①或

5a-4＜0 15a+9 2(5a-4) ≤1 g(1)=-10a-10≤0

②或

5a-4＜0 15a+9 2(5a-4) ≥2 g(2)=-10a-31≤0

③
解①得，a＞

4

5

．解②得，-1≤a＜

4

5

．解③得，a∈∅．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）．
（3）由f（x）=ax²-（2+4a）x+3a=a（x-

1+2a

a

）²-

a2+4a+1

a

，
及a＜0，可得f（x）的最大值為-

a2+4a+1

a

，就由-

a2+4a+1

a

＞0，且a＜0，
解得a＜-2-

3

或-2+

3

＜a＜0．
故當f（x）的最大值為正數(shù)時，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2-

3

）∪（-2+

3

，0）；
（4）f（x）=ax²+bx+1，∵f（-1）=0，∴a-b+1=0
∵對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，
∴△=b²-4a≤0，將b=a+1，代入得（a-1）²≤0，
∴a=1，b=2，∴f（x）=x²+2x+1，
∵g（x）=x²+（2-k）x+1在[-3，3]單調(diào)，
∴-

2-k

2

≤-3或-

2-k

2

≥3，
∴k≤-4或k≥8．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了一元二次不等式的解法，以及函數(shù)的單調(diào)性，訓練了利用“三個二次結(jié)合”求解恒成立問題中的參數(shù)范圍問題，是中檔題．