Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點為A，過原點O的直線（與坐標軸不重合）與橢圓C交于P，Q兩點，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點．若直線PQ斜率為

2

2

時，PQ=2

3

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）試問以MN為直徑的圓是否經過定點（與直線PQ的斜率無關）？請證明你的結論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：，（1）設P(x0，

2

2

x0)，由于直線PQ斜率為

2

2

時，PQ=2

3

，可得x02+(

2

2

x0)2=3，解得x02=2，代入橢圓方程可得：

2

a2

+

1

b2

=1，又e=

c

a

=

a2-b2

a

=

2

2

，聯(lián)立解得即可．
（2）設P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），代入橢圓方程可得

x

2 0

+2

y

2 0

=4．由直線PA方程為：y=

y0

x0+2

(x+2)，可得M(0，

2y0

x0+2

)，同理由直線QA方程可得N(0，

2y0

x0-2

)，可得以MN為直徑的圓為(x-0)(x-0)+(y-

2y0

x0+2

)(y-

2y0

x0-2

)=0，由于

x

2 0

-4=-2

y

2 0

，代入整理即可得出．

解答： 解：（1）設P(x0，

2

2

x0)，
∵直線PQ斜率為

2

2

時，PQ=2

3

，
∴x02+(

2

2

x0)2=3，
∴x02=2，(

2

2

x0)2=1，
∴

2

a2

+

1

b2

=1，
∵e=

c

a

=

a2-b2

a

=

2

2

，化為a²=2b²．
聯(lián)立

a2=2b2 2 a2 + 1 b2 =1

，
∴a²=4，b²=2．
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）以MN為直徑的圓過定點F(±

2

，0)．下面給出證明：
設P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），且

x 2 0

4

+

y 2 0

2

=1，即

x

2 0

+2

y

2 0

=4，
∵A（-2，0），∴直線PA方程為：y=

y0

x0+2

(x+2)，
∴M(0，

2y0

x0+2

)，
直線QA方程為：y=

y0

x0-2

(x+2)，
∴N(0，

2y0

x0-2

)，
以MN為直徑的圓為(x-0)(x-0)+(y-

2y0

x0+2

)(y-

2y0

x0-2

)=0，
即x2+y2-

4x0y0

x02-4

y+

4y02

x02-4

=0，

∵

x

2 0

-4=-2

y

2 0

，
∴x2+y2+

2x0

y0

y-2=0，
令y=0，x²+y²-2=0，解得x=±

2

，
∴以MN為直徑的圓過定點F(±

2

，0)．

點評：本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、點與橢圓的位置關系、點斜式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．