Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=

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AA₁，D是棱AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：C₁D⊥平面BDC；
（Ⅱ）設(shè)AA₁=2，求幾何體C-BC₁D的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明DC₁⊥BC，DC₁⊥DC，利用線面垂直的判定定理，即可證明C₁D⊥平面BDC；
（Ⅱ）利用V_C-BC1D=V_B-CC1D，求幾何體C-BC₁D的體積．

解答： （Ⅰ）證明：由題設(shè)知BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，又DC₁?平面ACC₁A₁，
∴DC₁⊥BC．
由題設(shè)知∠A₁DC₁=∠ADC=45°，
∴∠CDC₁=90°，即DC₁⊥DC，
又DC∩BC=C，
∴C₁D⊥平面BDC；（6分）
（2）解：∵ACB=90°，AC=BC=

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2

AA₁，D是棱AA₁的中點(diǎn)，AA₁=2，
∴V_C-BC1D=V_B-CC1D=

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3

•

1

2

•2•1•1=

1

3

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的判定，三棱錐體積的計(jì)算，著重考查線面垂直的判定定理的應(yīng)用與棱柱、棱錐的體積，考查分析表達(dá)與運(yùn)算能力，屬于中檔題．