Question

已知函數f（x）=

1

2+4x

，令a_n=f（

n

k

） （k∈N^*，n=1，2，3，…，k），則數列{a_n}的前k項和S_k=

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：由已知函數得到f（x）+f（1-x）=

1

2

，再求出f（1）的值，然后利用倒序相加法求得數列{a_n}的前k項和S_k

解答： 解：∵f（x）=

1

2+4x

，
則f（x）+f（1-x）=

1

2+4x

+

1

2+41-x

=

1

2+4x

+

1

2+ 4 4x

=

1

2+4x

+

4x

2•4x+4

=

2•4x+4+2•4x+(4x)2

(2+4x)(2•4x+4)

=

(4x)2+4•4x+4

2[(4x)2+4•4x+4]

=

1

2

，
∴S_k=a₁+a₂+a₃+…+a_k
=f(

1

k

)+f(

2

k

)+…+f(

k-1

k

)+f（1）①，
Sk=f(

k-1

k

)+f(

k-2

k

)+…+f(

1

k

)+f(1)  ②，
兩式相加得：2Sk=

k-1

2

+2f(1)，
Sk=

k-1

4

+f(1)，
由f（x）=

1

2+4x

，得f（1）=

1

6

，
∴Sk=

k-1

4

+

1

6

=

3k-1

12

．
故答案為：

3k-1

12

．

點評：本題考查了數列的函數特性，關鍵是在理解題意的基礎上求得f（x）+f（1-x）=

1

2

，訓練了倒序相加法求數列的和，是中檔題．