Question

18．已知函數(shù)f（x）=a•（$\frac{1}{3}$）^x+bx²+cx（a∈R，b≠0，c∈R），若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為[0，4）．

Answer 1

分析 設(shè)x₁∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，從而可推出f（0）=0，從而化簡f（x）=bx²+cx；從而可得（bx²+cx）（b²x²+bcx+c）=0與bx²+cx=0的根相同，從而解得．

解答 解：設(shè)x₁∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
則f（x₁）=0，且f（f（x₁））=0，
故f（0）=0，
故a=0；
故f（x）=bx²+cx；
由f（x）=0得，x=0或x=-$\frac{c}$；
f（f（x））=b（bx²+cx）²+c（bx²+cx）=0，
故（bx²+cx）（b²x²+bcx+c）=0，
當(dāng)c=0時，顯然成立；
當(dāng)c≠0時，方程b²x²+bcx+c=0無根，
故△=（bc）²-4b²c＜0，
解得，0＜c＜4．
綜上所述，
0≤c＜4，
故答案為：[0，4）．

點(diǎn)評 本題考查了集合的相等與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．