Question

1．已知橢圓的右焦點為F，A為橢圓上異于橢圓左右頂點的任意一點，且B與A關于原點O對稱，直線AF交橢圓于另外一點C，直線BF交橢圓于另外一點D，則直線AD與BC的交點M的軌跡方程為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$．

Answer 1

分析 利用設而不求的思想，設出A，B的坐標沒求出直線DA，DB的斜率即可得到結(jié)論

解答 解：如圖，
設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，F(xiàn)（c，0），
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），
∴k_BD=k_BF=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+c}$，
∵k_BD•k_AD=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∴k_AD=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}+c}{{y}_{1}}$
∴直線AD的方程為y-y₁=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}+c}{{y}_{1}}$（x-x₁）①
同理，直線BC的方程為y+y₁=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}-c}{{y}_{1}}$（x+x₁）②
由②-①整理得x=$\frac{{a}^{2}}{c}$
∴直線AD與BC的交點M在定直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$上．  
故答案為：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$．

點評 本題主要考查橢圓方程以及直線和橢圓方程的位置關系的應用，利用設而不求的思想以以及點差法是解決本題的關鍵．