Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點

（1）證明：；

（2）若為棱上一點，滿足，求銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證明；
（2）設(shè)，由，求出，求出平面ABF的法向量和平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.

證明：（1）∵在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，

AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點.
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），
，，
，

∴；
（2）∵F為棱PC上一點，滿足，
∴設(shè)，，
則，
　，
∵，，

解得，
，
設(shè)平面ABF的法向量，
則，取，得，
平面ABP的一個法向量，
設(shè)二面角的平面角為，
則，
∴二面角的余弦值為.