Question

15．如圖所示，已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)是F，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在x軸下方，點(diǎn)D和點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．
（1）若$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{FA}$，求直線l的方程；
（2）求S²_△OAF+S²_△OBD的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{FA}$，求出A、B坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后求直線l的方程；
（2）求出S²_OAF+S²_△OBD的表達(dá)式，利用基本不等式求S²_OAF+S²_△OBD的最小值．

解答 解：（1）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{FA}$，
∴（1-x₂，-y₂）=4（x₁-1，y₁），
∴1-x₂=4（x₁-1），-y₂=4y₁…①
由題意，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），代入拋物線方程，得ky²-4y-4k=0，
因?yàn)橹本�l與C相交于A，B兩點(diǎn)，所以k≠0，
則△=16+16k²＞0，y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4，…②
由①②，得方程組k=±$\frac{4}{3}$，
∵A點(diǎn)在x軸下方，
∴直線l的方程為y=$\frac{4}{3}$（x-1）；
（2）直線OB的方程為y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$x，即2px-y₂y=0，
∵點(diǎn)D和點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴D（x₁，-y₁），
∴D到直線OB的距離d=$\frac{|2p{x}_{1}+{y}_{1}{y}_{2}|}{\sqrt{4{p}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}}$=$\frac{|2p{x}_{1}-4|}{\sqrt{2p（2p+{x}_{2}）}}$，
∴S²_△OBD=x2（x1-1）2，
∵直線AB的方程為y=k（x-1），代入拋物線方程，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁x₂=1
∵S²_OAF=$\frac{1}{4}$×1×y12=x₁，
∴S²_OAF+S²_△OBD=x₁+=2x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-2≥2$\sqrt{2}$-2，
當(dāng)且僅當(dāng)2x₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，即x₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，S²_OAF+S²_△OBD的最小值為2$\sqrt{2}$-2

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想．