Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\(chéng)\ y=2sinφ\(chéng)end{array}$（φ為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂是圓心在極軸上且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓，射線θ=$\frac{π}{3}$與曲線C₂交于點(diǎn)D（4，$\frac{π}{3}}$）．
（1）求曲線C₁的普通方程及C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）在極坐標(biāo)系中，A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}}$）是曲線C₁上的兩點(diǎn)，求$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$的值．

Answer 1

分析 （1）由C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\(chéng)\ y=2sinφ\(chéng)end{array}\right.$，利用三角函數(shù)基本關(guān)系式可得C₁的普通方程．由于射線$θ=\frac{π}{3}$與曲線C₂交于點(diǎn)$D（{4，\frac{π}{3}}）$，且曲線C₂是圓心在極軸上且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓，即可得出C₂的圓心及其半徑，進(jìn)而得到直角坐標(biāo)方程．
（2）曲線C₁坐標(biāo)方程為$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{9}+\frac{{{ρ^2}{{sin}^2}θ}}{4}=1$，可得${ρ^2}=\frac{36}{{4{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別代入即可得出．

解答 解：（1）∵C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\(chéng)\ y=2sinφ\(chéng)end{array}\right.$，∴C₁的普通方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
∵射線$θ=\frac{π}{3}$與曲線C₂交于點(diǎn)$D（{4，\frac{π}{3}}）$，且曲線C₂是圓心在極軸上且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓，
∴C₂的直角坐標(biāo)方程（x-4）²+y²=16．
（2）曲線C₁坐標(biāo)方程為$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{9}+\frac{{{ρ^2}{{sin}^2}θ}}{4}=1$，
∴${ρ^2}=\frac{36}{{4{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，
∴$ρ_1^2=\frac{36}{{4{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}，ρ_2^2=\frac{36}{{4{{cos}^2}（{θ+\frac{π}{2}}）+9{{sin}^2}（{θ+\frac{π}{2}}）}}=\frac{36}{{4{{sin}^2}θ+9{{cos}^2}θ}}$，
∴$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}=\frac{{4{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}{36}+\frac{{4{{sin}^2}θ+9{{cos}^2}θ}}{36}=\frac{13}{36}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．