Question

5．設函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1
（1）若f（x）在$[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a＞$\frac{1}{3}$時，設函數(shù)g（x）=x²-2x-1，若?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，2]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，利用f（x）在$[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$上單調(diào)遞增，分離參數(shù)，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）分類討論，利用f（x）_min≥g（x）_min，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$≥0，
∴x∈$[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$，
∴a≥$\frac{1}{1+x}$，
∴a≥$\frac{4}{5}$；
（2）∵g（x）=x²-2x-1，∴g′（x）=2x-2，
∴x∈[0，1]，g′（x）＜0，x∈[1，2]，g′（x）＞0，
∴x=1，g（x）_min=-2，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（-ax+1-a）}{{x}^{2}}$
$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$時，函數(shù)在（0，1），（$\frac{1-a}{a}$，2）上單調(diào)遞減，
（1，$\frac{1-a}{a}$）上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（1）=-2a，∴-2a≥-2
∴a≤1，∴$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$；
a=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（2）=ln2-$\frac{5}{2}a$-$\frac{1}{2}$=ln2-$\frac{7}{4}$＞-2，滿足題意；
，∴-2a≥-2
a＞$\frac{1}{2}$時，函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（2）=ln2-$\frac{5}{2}a$-$\frac{1}{2}$≥-2，
∴a≤$\frac{2}{5}$ln2+$\frac{3}{5}$，∴$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{2}{5}$ln2+$\frac{3}{5}$，
綜上所述，$\frac{1}{3}$＜a≤$\frac{2}{5}$ln2+$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查導數(shù)的應用，考查分類討論的思想，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．