Question

正三棱錐的高為1，底面邊長為2

6

，此三棱錐內(nèi)有一個球和四個面都相切．
（1）求棱錐的全面積；
（2）求球的直徑．

Answer 1

考點：球的體積和表面積,球內(nèi)接多面體

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)正三棱錐的底面中心為H，由題意知PH=1，取BC中點E，連接HE、PE，則HE=

2

，側(cè)面的高PE=

3

由此能求出棱錐的全面積．
（2）過O作OG⊥PE于點G，則△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半徑R．

解答： 解：（1）設(shè)正三棱錐的底面中心為H，
由題意知PH=1，取BC中點E，
連接HE、PE，
則HE=

2

，側(cè)面的高PE=

3

，
S_全=3×

1

2

×2

6

×

3

+

1

2

×2

6

×2

6

×

3

2

=9

2

+6

3

（2）過O作OG⊥PE于點G，
則△POG∽△PEH，且OG=OH=R，
∴

1-R

3

=

R

2

，
∴R=

6

-2，
∴2R=2

6

-4．

點評：本題考查棱錐的全面積和球半徑的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．