Question

如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，下面結論正確的是

 

（把你認為正確的結論序號都填上）
①BD₁⊥平面DA₁C₁
②過點B與異面直線AC和A₁D所成角均為60°的有3條直線；
③四面體DA₁D₁C₁與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內切球半徑之比為

3

3

④與平面DA₁C₁平行的平面與正方體的各個面都有交點，則這個截面的周長為定值．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間位置關系與距離,空間角,簡易邏輯

分析：①由于BD₁⊥A₁D，BD₁⊥C₁D，利用線面垂直的判定定理可得BD₁⊥平面DA₁C₁；
②由于異面直線AC和A₁D所成的角為60°，可得過點B與異面直線AC和A₁D所成的角均為60°的直線有且只有2條．
③設AA₁=a，可求得四面體DA₁D₁C₁內切球半徑為

1

3+ 3

a，而正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內切球半徑為

1

2

a，即可得出所求的比．
④將正方體沿D₁A₁、A₁B₁、B₁C、CD、DD₁展開到一個平面上，如圖所示，易知截面多邊形EFGHIJ的周長為定值，等于3

2

a（a為正方體的棱長）．

解答： 解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，
①由正方體的性質可得BD₁⊥A₁C₁，DC₁⊥BD₁，再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得BD₁⊥平面DA₁C₁，故①正確；
∵AC和A₁D所成角均為60°，將A與A₁D移至B點，可知過點B與異面直線AC和A₁D所成角均為60°的有2條直線，故②錯誤；
③設AA₁=a，可求得四面體DA₁D₁C₁內切球半徑為

1

3+ 3

a，而正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內切球半徑為

1

2

a，
故所求的比應為1-

3

3

．故③錯誤；
④將正方體沿D₁A₁、A₁B₁、B₁C、CD、DD₁展開到一個平面上，如圖所示，易知截面多邊形EFGHIJ的周長為定值，
等于3

2

a（a為正方體的棱長），故④正確．
綜上可知：正確的有①、④．
故答案為：①④．

點評：本題綜合考查了線面平行于垂直的判定定理和性質定理、異面直線所成的角、內切球的性質、展開圖等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．