Question

已知拋物線C頂點在原點，焦點F在x軸上，拋物線C上的點（1，m）到F的距離等于2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若不與x軸垂直的直線l₁與拋物線C交于A、B兩點，且線段AB的垂直平分線l₂恰好過點M（4，0），求證：線段AB中點的橫坐標為定值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意設(shè)出拋物線方程，把點（1，m）到F的距離等于2轉(zhuǎn)化為點到準線的距離等于2求得p的值，則拋物線方程可求；
（2）設(shè)線段AB中點的坐標為N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直線MN的斜率，得到直線AB的斜率，寫出直線AB的方程，和拋物線方程聯(lián)立后由根與系數(shù)關(guān)系求得即線段AB中點的橫坐標為定值2．

解答： （1）解：由題意設(shè)拋物線方程為y²=2px，其準線方程為x=-

p

2

，
∵（1，m）到焦點的距離等于到其準線的距離，
∴1+

p

2

=2，p=2．
∴此拋物線的方程為y²=4x；
（2）證明：設(shè)線段AB中點的坐標為N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則直線MN的斜率為

y0

x0-4

，
∵AB不垂直于x軸，∴直線AB的斜率為

4-x0

y0

，直線AB的方程為y-y₀=

4-x0

y0

（x-x₀），
聯(lián)立方程

y-y0= 4-x0 y0 (x-x0) y2=4x

消去x，得(1-

x0

4

)y2-y0y+y02+x0(x0-4)=0，
∴y₁+y₂=

4y0

4-x0

，
∵N為AB中點，∴

y1+y2

2

=y0，即

2y0

4-x0

=y0，
∴x₀=2，即線段AB中點的橫坐標為定值2．

點評：本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．