Question

已知：△ABC是正三角形，EA、CD垂直平面ABC，且EA=AB=2，DC=1，F(xiàn)是BE中點(diǎn)．求證：（1）FD∥平面ABC；
（2）AF⊥平面BDE．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）過(guò)F作FO∥EA，只要證明FD∥CO即可；
（2）因?yàn)锳E⊥平面ABC，AE?平面AEB，得到平面AEB⊥平面ABC，再由面面垂直的性質(zhì)得到OC⊥平面ABE，進(jìn)一步得到AF⊥OC，由線(xiàn)面垂直的判定定理可證．

解答： 證明：（1）過(guò)F作FO∥EA，因?yàn)镕是EB的中點(diǎn)，所以O(shè)是AB的中點(diǎn)，所以FO∥CD，F(xiàn)O=CD，
所以四邊形FOCD是平行四邊形，所以FD∥CO，又FD?平面ABC，CO?平面ABC，
所以FD∥平面ABC；
（2）∵AE⊥平面ABC，AE?平面AEB，
∴平面AEB⊥平面ABC，
又平面AEB∩平面ABC=AB，OC⊥AB，
∴OC⊥平面ABE，AF?平面ABE，
∴AF⊥OC，DF∥OC
∴AF⊥DF又AF⊥BE，
∴AF⊥平面BDE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線(xiàn)面平行的判定和線(xiàn)面垂直的判定，關(guān)鍵是熟練相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理，將線(xiàn)面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系解答．