Question

【題目】如圖，橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率是 ，且過點（ ， ）．設(shè)點A1 ， B1分別是橢圓的右頂點和上頂點，如圖所示過 點A1 ， B1引橢圓C的兩條弦A1E、B1F．

（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線A1E與B1F的斜率是互為相反數(shù)．
①求直線EF的斜率k0②設(shè)直線EF的方程為y=k0x+b（﹣1≤b≤1）設(shè)△A1EF、△B1EF的面積分別為S1和S2 ， 求S1+S2的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知：橢圓的離心率e= = ，則3a2=4c2，b2=a2﹣c2= a2，即a2=4b2，

將（ ， ）代入橢圓方程： ，則 ，

解得：b2=1，a2=4，

橢圓C的方程

（2）

解：①設(shè)點E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），直線A1E，y=k（x﹣2），直線B1E：y=﹣kx+1，

則 ，消去y得：（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，則2x1= ，x1= ，

y1=k（x1﹣2）= ，則E（ ， ），

聯(lián)立 ，消去y整理得：（4k2+1）x2﹣8kx=0，x2= ，

y2=﹣kx2+1= ，F(xiàn)（ ， ），則kEF= = ，

②設(shè)直線EF：y= x+b，聯(lián)立方程組 ，消去y得：x2+2bx+2b2﹣2=0，

△=（﹣2b）2﹣4（2b2﹣2）=8﹣4b2＞0，解得：﹣ ＜b＜ ，

x1+x2=﹣2b，x1x2=2b2﹣2，丨EF丨= = ，

設(shè)d1，d2分別為點A1，B1到直線EF的距離，則d1= ，d2= ，

則S1+S2= （d1+d2）丨EF丨=（丨b+1丨+丨b﹣1丨） ，

∵﹣1≤b≤1時，

∴S1+S2=2 ，

由2 ∈[2，2 ]，

S1+S2∈[2，2 ]，

S1+S2的取值范圍[2，2 ]

【解析】（1）由題意的離心率求得a與b關(guān)系，將（ ， ）代入橢圓方程： ，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）①將直線方程分別代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得E和F點坐標(biāo)，根據(jù)直線的斜率公式，即可求得直線EF的斜率k0；②將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式求得丨EF丨，利用點到直線的距離公式則A1 ， B1到直線EF的距離d1 ， d2 ， 利用三角形的面積公式及函數(shù)的單調(diào)性即可求得S1+S2的取值范圍．
【考點精析】掌握橢圓的概念和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的根本，需要知道平面內(nèi)與兩個定點，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡稱為橢圓,這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．