【題目】已知集合P的元素個數為個且元素為正整數,將集合P分成元素個數相同且兩兩沒有公共元素的三個集合A、B、C,即 ,,,,其中 ,, 若集合A、B、C中的元素滿足 ,,,2,,則稱集合P為“完美集合”.
若集合2,,2,3,4,5,,判斷集合P和集合Q是否為“完美集合”?并說明理由;
已知集合x,3,4,5,為“完美集合”,求正整數x的值;
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)討論集合A與集合B,根據完美集合的概念知集合C,根據ak+bk=ck ,可依次判斷集合P與Q是否為完美集合;(2)討論集合AB,根據完美集合的定義,建立等式求x的值.
(1)集合P=2,為“完美集合”,
令A={1},B={2},C={3}.
則集合A、B、C中的元素滿足ak+bk=ck,
集合Q=2,3,4,5,不是“完美集合”,
若集合Q為“完美集合”,
則C中元素最小為3,
若C的最小元素為3,則a1+b1=1+2=3,
a2+b2=4+5=c2=6不可能成立,
若C的最小元素為4,則a1+b1=1+3=4,
a2+b2=2+5=c2=6不可能成立,
若C的最小元素為5,則a1+b1=1+4=5,
a2+b2=2+3=c2=6不可能成立,
綜上可得集合Q={1,2,3,4,5,6}不是“完美集合”
(2)由(1)可得x≠2,
若A={1,3},4∈B,則5∈C,6∈B,x=3+6=9∈C滿足“完美集合”的定義;
若A={1,3},5∈B,則6∈C,5∈B,x=3+5=8∈C滿足“完美集合”的定義;
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,D是 的中點,BD交AC于E. (Ⅰ)求證:DC2=DEDB;
(Ⅱ)若CD=2 ,O到AC的距離為1,求⊙O的半徑r.
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【題目】A、B、C三位老師分別教數學、英語、體育、勞技、語文、閱讀六門課,每位教兩門.已知:
(1)體育老師和數學老師住在一起,
(2)A老師是三位老師中最年輕的,
(3)數學老師經常與C老師下象棋,
(4)英語老師比勞技老師年長,比B老師年輕,
(5)三位老師中最年長的老師比其他兩位老師家離學校遠.
問:A、B、C三位老師每人各教哪幾門課?
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【題目】如圖,在四面體中, 在平面的射影為棱的中點, 為棱的中點,過直線作一個平面與平面平行,且與交于點,已知, .
(1)證明: 為線段的中點
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】已知命題p:關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根;命題q:關于x的一元二次方程對于任意實數a都沒有實數根.
若命題p為真命題,求實數m的取值范圍;
若命題p和命題q中有且只有一個為真命題,求實數m的取值范圍.
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【題目】某工廠2016年計劃生產A、B兩種不同產品,產品總數不超過300件,生產產品的總費用不超過9萬元.A、B兩個產品的生產成本分別為每件500元和每件200元,假定該工廠生產的A、B兩種產品都能銷售出去,A、B兩種產品每件能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該工廠如何分配A、B兩種產品的生產數量,才能使工廠的收益最大?最大收益是多少萬元?
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【題目】已知四面體P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC= AB,若四面體P﹣ABC的體積為 ,則該球的體積為( )
A.
B.2π
C.
D.
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【題目】已知各項均不相等的等差數列{an}的前四項和S4=14,且a1 , a3 , a7成等比數列. (Ⅰ)求數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設Tn為數列{ }的前n項和,若Tn≤λan+1對n∈N*恒成立,求實數λ的最小值.
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【題目】在亞丁灣海域執(zhí)行護航任務的中國海軍“徐州”艦,在A處收到某商船在航行中發(fā)出求救信號后,立即測出該商船在方位角方位角(是從某點的指北方向線起,依順時針方向到目標方向線之間的水平夾角)為45°、距離A處為10 n mile的C處,并測得該船正沿方位角為105°的方向,以9 n mile/h的速度航行,“徐州”艦立即以21 n mile/h的速度航行前去營救.
(1)“徐州”艦最少需要多少時間才能靠近商船?
(2)在營救時間最少的前提下,“徐州”艦應按照怎樣的航行方向前進?(角度精確到0.1°,時間精確到1min,參考數據:sin68.2°≈0.9286)
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