Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：①a₁=1；②所有項(xiàng)a_n∈N^*；③1=a₁＜a₂＜…＜a_n＜a_n+1＜…設(shè)集合A_m={n|a_n≤m，m∈N^*}，將集合A_m中的元素的最大值記為b_m．換句話說(shuō)，b_m是數(shù)列{a_n}中滿足不等式a_n≤m的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列{b_n}為數(shù)列{a_n}的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3．
（1）請(qǐng)寫出數(shù)列1，4，7的伴隨數(shù)列；
（2）設(shè)a_n=3^n-1，求數(shù)列{a_n}的伴隨數(shù)列{b_n}的前20之和；
（3）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+c（其中c常數(shù)），求數(shù)列{a_n}的伴隨數(shù)列{b_m}的前m項(xiàng)和T_m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的應(yīng)用

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)伴隨數(shù)列的定義直接寫出數(shù)列1，4，7的伴隨數(shù)列；
（2）根據(jù)伴隨數(shù)列的定義得：n≤1+log3m  (m∈N*)，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算對(duì)m分類討論求出伴隨數(shù)列{b_n}的前20項(xiàng)以及它們的和；
（3）由題意和a_n與S_n的關(guān)系式求出a_n，代入a_n≤m得n≤

m+1

2

   (m∈N*)，并求出伴隨數(shù)列{b_m}的各項(xiàng)，再對(duì)m分類討論，分別求出伴隨數(shù)列{b_m}的前m項(xiàng)和T_m．

解答： 解：（1）數(shù)列1，4，7的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，（后面加3算對(duì)），
（2）由an=3n-1≤m，得n≤1+log3m  (m∈N*)
∴當(dāng)1≤m≤2，m∈N^*時(shí)，b₁=b₂=1，
當(dāng)3≤m≤8，m∈N^*時(shí)，b₃=b₄=…=b₈=2，
當(dāng)9≤m≤20，m∈N^*時(shí)，b₉=b₂₈=…=b₂₀=3，
∴b₁+b₂+…+b₂₀=1×2+2×6+3×12=50，
（3）∵a₁=S₁=1+c=1，∴c=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
∴an=2n-1  (n∈N*)，
由a_n=2n-1≤m得：n≤

m+1

2

   (m∈N*)
因?yàn)槭沟胊_n≤m成立的n的最大值為b_m，
所以b1=b2=1，  b3=b4=2，…，  b2t-1=b2t=t   (t∈N*)，
當(dāng)m=2t-1（t∈N^*）時(shí)：Tm=2•

1+(t-1)

2

•(t-1)+t=t2=

1

4

(m+1)2，
當(dāng)m=2t（t∈N^*）時(shí)：Tm=2•

1+t

2

•t=t2+t=

1

4

m(m+2)，
所以Tm=

(m+1)2 4 ，m=2t-1(t∈N+) m(m+2) 4 ，m=2t(t∈N+)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，著重考查對(duì)抽象概念的理解與綜合應(yīng)用的能力，觀察、分析尋找規(guī)律是難點(diǎn)，是難題．