Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+ax+1，x≥1 ax2+x+1，x＜1

在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，要分x≥1，x＜1兩種情況討論，當(dāng)x＜1時(shí)，又分a=0，a≠0兩種情況，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，要分x≥1，x＜1兩種情況討論，
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=x²+ax+1在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f^′（x）=2x+a≥0，解得x≥-

a

2

，而x≥1，∴a≥-2①，
當(dāng)x＜1時(shí)，又分a=0，a≠0兩種情況：
Ⅰ：a=0時(shí)，f（x）=x+1是增函數(shù)，滿足題意②；
Ⅱ：a≠0時(shí)，f（x）=ax²+x+1是二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，需滿足對稱軸x=-

1

2a

≥1且a＜0
即

- 1 2a ≥1 a＜0

，解得-

1

2

≤a＜0③
綜合①②③得-

1

2

≤a≤0；
故答案為：[-

1

2

，0]．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象及性質(zhì)，采用分類討論的思想解決此題．