Question

2．如圖，C，D是以AB為直徑的圓上的兩點(diǎn)，AB=2AD=2$\sqrt{3}$，AC=BC，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，且AF=$\frac{1}{3}$AB，將圓沿AB折起，使點(diǎn)C在平面ABD的正投影E在線段BD上，已知CE=$\sqrt{2}$，平面EFMN分別交AC、DC于點(diǎn)M、N．
（1）求證：AD⊥平面BCE；
（2）求證：AD∥MN；
（3）求三棱錐A-CFD的體積．

Answer 1

分析 （1）依題AD⊥BD，CE⊥AD，由此能證明AD⊥平面BCE；
（2）由已知得BE=2，BD=3．從而AD∥EF，由此能證明AD∥平面CEF；
（3）由V_A-CFD=V_C-AFD，利用等積法能求出三棱錐A-CFD的體積．

解答 （1）證明：依題意，AD⊥BD
∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，
∵BD∩CE=E，
∴AD⊥平面BCE；
（2）證明：Rt△BCE中，CE=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{6}$，∴BE=2，
Rt△ABD中，AB=2$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{3}$，∴BD=3．
∴$\frac{BF}{BA}=\frac{BE}{BD}=\frac{2}{3}$，則AD∥EF，
∵AD?平面ADC，EF?平面ADC，
∴EF∥平面ADC．
又EF?平面EFMN，且平面EFMN∩平面ADC=MN，
∴EF∥MN，則AD∥MN；
（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，
且ED=BD-BE=1，
∴F到AD的距離等于E到AD的距離為1．
∴S_△FAD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵CE⊥平面ABD，
∴V_A-CFD=V_C-AFD=$\frac{1}{3}$S_△FAD•CE=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，求棱錐的體積，求解本題的關(guān)鍵是創(chuàng)造出線面垂直、線面平行的條件，熟知相關(guān)的定理是求解這一類題的保證，屬中檔題．