9.長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AA1=3,BC=2,P為A1B1中點(diǎn),M,N,Q分別為棱AB,AA1,CC1上的點(diǎn),且AB=4MB,AA1=3AN,CC1=3CQ.
(Ⅰ)求證:PQ⊥平面PD1N;
(Ⅱ)求二面角P-D1M-N的余弦值.

分析 (Ⅰ)以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明PQ⊥平面PD1N.
(Ⅱ)求出平面PD1M的法向量和平面D1MN的法向量,利用向量法能求出二面角P-D1M-N的余弦值.

解答 證明:(Ⅰ)以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則P(2,2,3),Q(0,4,1),D1(0,0,3),M(2,3,0),N(2,0,1),
$\overrightarrow{PQ}$=(-2,2,-2),$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=(2,2,0),$\overrightarrow{{D}_{1}N}$=(2,0,-2),
∵$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{{D}_{1}P}$=0,$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{{D}_{1}N}$=0,
∴PQ⊥D1P,PQ⊥D1N,
∵D1P∩D1N=D1,∴PQ⊥平面PD1N.
解:(Ⅱ)$\overrightarrow{{D}_{1}M}$=(2,3,-3),$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=(2,2,0),$\overrightarrow{{D}_{1}N}$=(2,0,-2),
設(shè)平面PD1M的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{n}=2x+3y-3z=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}P}•\overrightarrow{n}=2x+2y=0}\end{array}\right.$,取x=3,得平面PD1M的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=(3,-3,-1),
設(shè)平面D1MN的法向量為$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{m}=2a+3b-3c=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}N}•\overrightarrow{m}=2a-2c=0}\end{array}\right.$,取a=3,得$\overrightarrow{m}$=(3,1,3),
∴cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{19}$,
由圖知二面角P-D1M-N的平面角為鈍角,
∴二面角P-D1M-N的余弦值為-$\frac{3}{19}$.

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.在△ABC中,A=60°,B=45°,a=1,則最短邊的邊長等于( 。
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{6}}{3}$C.$\frac{\sqrt{6}}{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知在${(\frac{1}{x}+2\root{3}{x})^n}$的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256.
(1)求展開式中常數(shù)項(xiàng);
(2)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,側(cè)面AA1B1B是菱形,且∠ABB1=60°.
(I)求證:AB⊥B1C;
(Ⅱ)若AB=B1C=2,BC=$\sqrt{2}$,求二面角B-AB1-C1的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.如圖,在二面角A-CD-B中,BC⊥CD,BC=CD=2,點(diǎn)A在直線AD上運(yùn)動(dòng),滿足AD⊥CD,AB=3.現(xiàn)將平面ADC沿著CD進(jìn)行翻折,在翻折的過程中,線段AD長的取值范圍是$[\sqrt{5}-2,\sqrt{5}+2]$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

14.投擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子,則向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于$\frac{1}{9}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.函數(shù)f(x)=(-2)x-x+1.當(dāng)x依次取前6個(gè)自然數(shù)時(shí),f(x)的函數(shù)值列是{-2,3,-10,13,-36,59}.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.在極坐標(biāo)系中,與圓ρ=4sinθ相切的一條直線的方程為( 。
A.ρcosθ=$\frac{1}{2}$B.ρcosθ=2C.ρ=4sin(θ+$\frac{π}{3}$)D.ρ=4sin(θ-$\frac{π}{3}$)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.設(shè)集合A={x|y=ln(2x-1)},B={x|-1<x<3},則A∩B=( 。
A.(-1,3)B.(1,3)C.(-1,$\frac{1}{2}$)D.($\frac{1}{2}$,3)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案