分析 (Ⅰ)以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明PQ⊥平面PD1N.
(Ⅱ)求出平面PD1M的法向量和平面D1MN的法向量,利用向量法能求出二面角P-D1M-N的余弦值.
解答 證明:(Ⅰ)以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則P(2,2,3),Q(0,4,1),D1(0,0,3),M(2,3,0),N(2,0,1),
$\overrightarrow{PQ}$=(-2,2,-2),$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=(2,2,0),$\overrightarrow{{D}_{1}N}$=(2,0,-2),
∵$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{{D}_{1}P}$=0,$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{{D}_{1}N}$=0,
∴PQ⊥D1P,PQ⊥D1N,
∵D1P∩D1N=D1,∴PQ⊥平面PD1N.
解:(Ⅱ)$\overrightarrow{{D}_{1}M}$=(2,3,-3),$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=(2,2,0),$\overrightarrow{{D}_{1}N}$=(2,0,-2),
設(shè)平面PD1M的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{n}=2x+3y-3z=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}P}•\overrightarrow{n}=2x+2y=0}\end{array}\right.$,取x=3,得平面PD1M的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=(3,-3,-1),
設(shè)平面D1MN的法向量為$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{m}=2a+3b-3c=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}N}•\overrightarrow{m}=2a-2c=0}\end{array}\right.$,取a=3,得$\overrightarrow{m}$=(3,1,3),
∴cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{19}$,
由圖知二面角P-D1M-N的平面角為鈍角,
∴二面角P-D1M-N的余弦值為-$\frac{3}{19}$.
點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ρcosθ=$\frac{1}{2}$ | B. | ρcosθ=2 | C. | ρ=4sin(θ+$\frac{π}{3}$) | D. | ρ=4sin(θ-$\frac{π}{3}$) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-1,3) | B. | (1,3) | C. | (-1,$\frac{1}{2}$) | D. | ($\frac{1}{2}$,3) |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com