Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=3，S_n=na_n-n（n-1）
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用S_n，與a_n的關(guān)系，推出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，然后求解通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）化簡(jiǎn)b_n=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用裂項(xiàng)求和求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（Ⅰ）a₁=3，S_n=na_n-n（n-1）
則．S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2），（n≥2）…（2分）
兩式相減得a_n-a_n-1=2，（n≥2），數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，…（4分）
所以a_n=2n+1…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，…..（8分）
所以數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+6}$=$\frac{n}{6n+9}$…..（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．