如圖，A、B是單位圓O上的點，C、D分別是圓O與x軸的兩個交點，△ABO為正三角形．
（1）若點A的坐標(biāo)為，求cos∠BOC的值；
（2）若∠AOC=x（0＜x＜），四邊形CABD的周長為y，試將y表示成x的函數(shù)，并求出y的最大值．

【答案】分析：（1）根據(jù)△ABO為正三角形求得∠BOA，利用點A的坐標(biāo)求得sin∠AOC和cos∠AOC，進(jìn)而利用兩角和公式求得cos∠BOC．
（2）利用余弦定理分別求得AC和BD，進(jìn)而根據(jù)△ABO為正三角形求得AB，CD可知，四邊相加得到y(tǒng)的函數(shù)解析式，利用兩角和公式化簡整理后，利用x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值．
解答：解：（1）∵△ABO為正三角形
∴∠BOA=60°
∵點A的坐標(biāo)為
∴tan∠AOC=，
∴sin∠AOC=，cos∠AOC=
∴cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°-sin∠AOCsin60°=；

（2）由余弦定理可知AC==2sin，BD==2sin（-），
AB=OB=1，CD=2，
∴
=
=
=，0＜x＜
∴當(dāng)x=時，ymax=5
點評：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，A、B是單位圓O上的動點，C是圓與x軸正半軸的交點，設(shè)∠COA=α．
（1）當(dāng)點A的坐標(biāo)為(
3
5
，  
4
5
)時，求sinα的值；
（2）若0≤α≤
π
2
，且當(dāng)點A、B在圓上沿逆時針方向移動時，總有∠AOB=
π
3
，試求BC的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，A、B是單位圓O上的點，C、D分別是圓O與x軸的兩個交點，△ABO為正三角形．
（1）若點A的坐標(biāo)為(
3
5
，
4
5
)，求cos∠BOC的值；
（2）若∠AOC=x（0＜x＜
2π
3
），四邊形CABD的周長為y，試將y表示成x的函數(shù)，并求出y的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖：A、B是單位圓上的動點，C是單位圓與x軸正半軸的交點，
且∠AOB=
π
6
，記∠COA=θ，θ∈（0，π），△AOC的面積為S．
（Ⅰ）設(shè)（θ）=OB→•OC→+2S，求f（θ）的最大值以及此時θ的值；
（Ⅱ）當(dāng)A點坐標(biāo)為(-
3
5
，
4
5
)時，求|
BC
|2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A，B是單位圓上的兩個質(zhì)點，B點坐標(biāo)為（1，0），∠BOA=60°，質(zhì)點A以1弧度/秒的角速度按逆時針方向在單位圓上運動；質(zhì)點B以1弧度/秒的角速度按順時針方向在單位圓上運動，過點A作AA1⊥y軸于A1，過點B作BB1⊥y軸于B1．
（1）求經(jīng)過1秒后，∠BOA的弧度數(shù)；
（2）求質(zhì)點A，B在單位圓上第一次相遇所用的時間；
（3）記A1B1的距離為y，請寫出y與時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A、B是單位圓O上的點，C是圓O與x軸正半軸的交點，點A的坐標(biāo)為(
3
5
，
4
5
)，三角形AOB為直角三角形．則cos∠COB的值是
-
4
5
-
4
5
．

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