Question

18．設(shè)集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x²+y²=1}．
（1）當(dāng)a為何值時(shí)，A∩C≠∅；
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，（A∪B）∩C是僅含有兩個(gè)元素的集合；
（3）當(dāng)a為何值時(shí)，（A∪B）∩C是僅含有三個(gè)元素的集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離即可判斷，
（2）作出集合A，B的圖象，利用（A∪B）∩C為兩個(gè)元素的集合，說明①直線ax+y=1和x+ay=1與圓x²+y²=1各有一個(gè)交點(diǎn)且不重合，②直線ax+y=1和x+ay=1重合，且與圓x²+y²=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a即可；
（3）（A∪B）∩C為含三個(gè)元素的集合，a≠0，a≠1．直線ax+y=1和x+ay=1與圓x²+y²=1必須交于三個(gè)點(diǎn)，即兩直線有一個(gè)交點(diǎn)在圓x²+y²=1上，且兩直線與圓還各有一個(gè)交點(diǎn)，利用對(duì)稱性求出實(shí)數(shù)a即可．

解答 解：∵集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x²+y²=1}，
∴集合A，B表示直線，C表示單位圓
（1）∵A∩C≠∅，
∴直線與圓有交點(diǎn)，
∴d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$≤1，
解得a為R，
（2）（A∪B）∩C含兩個(gè)元素
①直線ax+y=1和x+ay=1與圓x²+y²=1各有一個(gè)交點(diǎn)且不重合，則滿足條件，此時(shí)a=0，如圖（1）所示
②直線ax+y=1和x+ay=1重合，且與圓x²+y²=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則滿足條件，此時(shí)a=1，如圖（2）所示
綜上，a=0或a=1時(shí)，（A∪B）∩C為含兩個(gè)元素的集合
（2）（A∪B）∩C含三個(gè)元素
顯然a≠0，a≠1．
直線ax+y=1和x+ay=1與圓x²+y²=1必須交于三個(gè)點(diǎn)，即兩直線有一個(gè)交點(diǎn)在圓x²+y²=1上，且兩直線與圓還各有一個(gè)交點(diǎn)
∵直線ax+y=1和x+ay=1關(guān)于直線y=x對(duì)稱
∴三個(gè)交點(diǎn)為（0，1），（1，0），（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，1），（1，0），（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
如圖（3）（4）所示
此時(shí)a=-1±$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查子集、并集、交集的轉(zhuǎn)換，考查數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，作出圖形，是解好本題的前提，是中檔題．