Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓方程為（），拋物線方程為．過拋物線的焦點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，拋物線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)． 
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)為橢圓上的動點(diǎn)，由向軸作垂線，垂足為，且直線上一點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？

Answer 1

(1) 橢圓方程為，拋物線方程為．
(2) 當(dāng)，即時，點(diǎn)的軌跡方程為，其軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓；　                    
當(dāng)，即時，點(diǎn)的軌跡方程為，其軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；　                            
當(dāng)，即時，點(diǎn)的軌跡方程為，其軌跡是焦點(diǎn)在 
軸上的橢圓.

（1）拋物線的焦點(diǎn)為，過拋物線的焦點(diǎn)垂直于軸的直線為.
由得點(diǎn)的坐標(biāo)為.　          …………………………2分
由得，∴，故.
∴拋物線在點(diǎn)的切線方程為，即. …………4分
令得，∴橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.         …………5分
又由橢圓方程及知，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.  …………6分
∴，解得.  　               …………………………7分
∴橢圓方程為，拋物線方程為．   …………………8分
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為,
且，.由已知知.　         …………………………10分
將其代入橢圓方程得.　            …………………………11分
當(dāng)，即時，點(diǎn)的軌跡方程為，其軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓；　                      …………………………12分
當(dāng)，即時，點(diǎn)的軌跡方程為，其軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；　                            …………………………13分
當(dāng)，即時，點(diǎn)的軌跡方程為，其軌跡是焦點(diǎn)在 
軸上的橢圓. 　                               …………………………14分