Question

5．已知函數f（x）對任意實數x均有f（x）=kf（x+2），其中常數k為負數，且f（x）在區(qū)間[0，2]上有表達式f（x）=x（x-2）．
（Ⅰ）求f（-1），f（2.5）的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-3，3]上的表達式；
（Ⅲ）求f（x）在[-3，3]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（-1）=kf（1），由 f（0.5）=k f（2.5），得到f（2.5）=$\frac{1}{k}$f（0.5）=$\frac{1}{k}$（0.5-2）•0.5．
（Ⅱ）條件可得f（x）=$\frac{1}{k}$f（x-2），當-2≤x＜0時，-3≤x＜-2時，分別求出f（x）的解析式，從而得到f（x）在[-3，3]上的表達式，通過表達式研究單調性．
（Ⅲ）由（Ⅱ）中函數f（x）在[-3，3]上的單調性可知，在x=-3或x=1處取最小值，在x=-1或x=3處取最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵在區(qū)間[0，2]上有f（x）=x（x-2），∴f（1）=-1．
∵f（x）=kf（x+2），∴f（x+2）=$\frac{f（x）}{k}$，即f（x）=$\frac{1}{k}$f（x-2）．
∴f（2.5）=f（2+0.5）=$\frac{1}{k}$•f（0.5）=$\frac{1}{k}$•（-$\frac{3}{4}$）=-$\frac{3}{4k}$．
（Ⅱ）當-2≤x＜0時，0≤x+2＜2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
當-3≤x＜-2時，1≤x+4＜2，f（x）=kf（x+2）=k² •f（x+4）=（x+4）（x+2）．
當2≤x≤3 時，0≤x-2≤1，f（x-2）=kf（x）=（x-2）（x-4），故f（x）=$\frac{1}{k}$（x-2）（x-4）．
綜上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}（x+2）（x+4），-3≤x＜-2}\\{kx（x+2），-2≤x＜0}\\{x（x-2），0≤x＜2}\\{\frac{1}{k}（x-2）（x-4），2≤x≤3}\end{array}\right.$．
（Ⅲ）∵k＜0，∴f（x）在[-3，-1]與[1，3]上為增函數，在[-1，1]上為減函數，
故f（x）在x=-3或x=1處取最小值為  f（-3）=-k²，或f（1）=-1，
而在x=-1或x=3處取最大值為 f（-1）=-k，或f（3）=-$\frac{1}{k}$，
故有：
①k＜-1時，f（x）在x=-3處取最小值f（-3）=-k²，在x=-1處取最大值f（-1）=-k；
②k=-1時，f（x）在x=-3與x=1處取最小值f（-3）=f（1）=-1，在x=-1與x=3處取最大值f（-1）=f（3）=1；
③-1＜k＜0時，f（x）在x=1處取最小值f（1）=-1，在x=3處取最大值f（3）=-$\frac{1}{k}$．

點評 這是一道求函數解析式的問題，本題較為抽象，在區(qū)間轉化時一定要細心，防止出錯，屬于難題．