Question

【題目】已知函數(shù) （a為常數(shù)，a≠0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（3，f（3））的切線方程
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）在x0處取得極值，且 ，而f（x）≥0在[e+2，e3+2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】
（1）解： （x＞2）

當(dāng)a=1時(shí)， ，f'（3）=﹣2. ，

所以，函數(shù)f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程為：

，即4x+2y﹣3=0．

（2）解： = ，

因?yàn)閤＞2，所以x﹣2＞0，

①當(dāng)a＜0時(shí)，（x﹣1）2﹣（a+1）=x（x﹣2）﹣a＞0在x＞2上成立，

所以f'（x）當(dāng)x＞2恒大于0，

故f（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)．

②當(dāng)a＞0時(shí)， ，

因?yàn)閤＞2，

所以 ，a（x﹣2）＞0，

當(dāng) 時(shí)，f'（x）≤0，f（x）為減函數(shù)；

當(dāng) 時(shí)，f'（x）≥0，f（x）為增函數(shù)．

綜上：當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；

當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在 上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù)．

（3）解：由（2）知x0處有極值，故a＞0，且 ，

因?yàn)? 且e+2＞2，

所以f（x）在[e+2，e3+2]上單調(diào)．

當(dāng)[e+2，e3+2]為增區(qū)間時(shí)，f（x）≥0恒成立，則有 ．

當(dāng)[e+2，e3+2]為減區(qū)間時(shí)，f（x）≥0恒成立，則有 解集為空集．

綜上：當(dāng)a＞e6+2e3時(shí)滿足條件

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（3），f′（3）的值，求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）由（2）知x0處有極值，求出 ，得到f（x）在[e+2，e3+2]上單調(diào)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．