Question

1．已知函數(shù)f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y²-8x+1）+f（x-6y+10）≤0，則當(dāng)y≥3時，函數(shù)F（x，y）=x²+y²的最小值與最大值的和為62．

Answer 1

分析 運用奇偶性的定義和求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，可得f（x）在R上為增函數(shù)．且為奇函數(shù)．由條件可得f（y²-8x+1）≤-f（x-6y+10）=f（-x+6y-10），則有y²-8x+11≤-x²+6y-10，運用配方可得（x-4）²+（y-3）²≤4，由圓的知識，及F（x，y）=x²+y²的幾何意義是（x，y）與原點的距離的平方，即可得到最值之和．

解答 解：易知f（x）=x+sinx（x∈R），
f（-x）=-x+sin（-x）=-（x+sinx）=-f（x），
則f（x）是奇函數(shù)，又f′（x）=1+cosx≥0，
則f（x）在R上為增函數(shù)．
所以f（y²-8x+1）+f（x²-6y+10）≤0，
即為f（y²-8x+1）≤-f（x²-6y+10）=f（-x²+6y-10），
則有y²-8x+11≤-x²+6y-10
即x²+y²-8x-6y+21≤0，即為（x-4）²+（y-3）²≤4，
又y≥3，則（x，y）對應(yīng)可行域是以（4，3）為圓心，2為半徑的上半圓面，
函數(shù)F（x，y）=x²+y²的幾何意義是（x，y）與原點的距離的平方．
連接點（2，3）和（0，0）的距離為$\sqrt{13}$，連接原點和圓心（4，3）延長交半圓于P，
則PO的距離為$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$+2=7，
即有F（x，y）_min=13，F(xiàn)（x，y）_max=49，其和為62．
故答案為：62．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用，同時考查圓的方程，兩點的距離公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．