Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^2x+sinx-3x²+3x-1，g（x）=ax²+a²lnx（a∈R）．
（1）若a=-1，求g（x）的極大值；
（2）若?x₁∈[0，1]，?x₂∈（0，1]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到g（x）的極大值；
（2）運用單調(diào)性可得y=e^2x+sinx的最小值為1，由二次函數(shù)的最值的求法，可得-3x²+3x-1的最小值為-1，進(jìn)而得到f（x）的最小值為0，由題意可得0≥g（x）=ax²+a²lnx在（0，1]恒成立．對a討論，結(jié)合單調(diào)性，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）若a=-1，則g（x）=-x²+lnx，
g′（x）=-2x+$\frac{1}{x}$=$\frac{（1+\sqrt{2}x）（1-\sqrt{2}x）}{x}$，
由x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，g′（x）＜0，g（x）遞減；
由0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，g′（x）＞0，g（x）遞增．
即有x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$處取得極大值，且為-$\frac{1}{2}$+ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時，y=e^2x+sinx遞增，
即有x=0處取得最小值，且為1；
y=-3x²+3x-1在[0，$\frac{1}{2}$]遞增，在[$\frac{1}{2}$，1]遞減，
即有x=0或1處取得最小值，且為-1．
則f（x）在[0，1]的最小值為1-1=0．
由題意可得0≥g（x）=ax²+a²lnx在（0，1]恒成立．
當(dāng)a=0時，不等式顯然成立；
當(dāng)a＞0時，g（x）遞增，即有0≥a，不成立；
當(dāng)a＜0時，x²+alnx≥0，x=1時，顯然成立，
當(dāng)0＜x＜1時，即有l(wèi)nx＜0，不等式顯然成立．
綜上可得a的取值范圍是（-∞，0]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力，屬于中檔題．