Question

1．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一個焦點與拋物線y²=4x的焦點重合，橢圓E上一點到其右焦點F的最短距離為$\sqrt{2}-1$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）記橢圓E的上頂點為C，是否存在直線l交橢圓E于A，B兩點，使點F恰好為△ABC的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）橢圓的一個焦點與拋物線y²=4x的焦點重合，橢圓E上一點到其右焦點F的最短距離為$\sqrt{2}-1$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由C（0，1），F(xiàn)（1，0），得k_CF=-1，從而k_AB=1，設直線l的方程為y=x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0，由此利用根的判別式和韋達定理，結合已知條件能求出直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一個焦點與拋物線y²=4x的焦點重合，
橢圓E上一點到其右焦點F的最短距離為$\sqrt{2}-1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a-c=\sqrt{2}-1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）假設存在直線l交橢圓與A、B兩點，且F恰好為△ABC的垂心，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由C（0，1），F(xiàn)（1，0），得k_CF=-1，
∵CF⊥AB，∴k_AB=1，
設直線l的方程為y=x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0，
由△＞0，得m²＜3，且x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
由題意，有$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{FQ}$=0，
∵$\overrightarrow{NP}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{FQ}$=（x₂-1，y₂），
∴x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，
即x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0，
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0，
∴$2×\frac{2{m}^{2}-2}{3}-\frac{4}{3}m（m-1）+{m}^{2}-m=0$，
解得m=-$\frac{4}{3}$，或m=1，
經(jīng)檢驗，當m=1時，△PQN不存在，故舍去m=1，
當m=-$\frac{4}{3}$時，所求直線l存在，且直線l的方程為y=x-$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式和韋達定理、直線方程，橢圓性質的合理運用．