Question

（本小題滿分12分）(注意:在試題卷上作答無效)

在四棱錐中，側面底面，，底面是直角梯形，，，，.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）設為側棱上一點，，
試確定的值，使得二面角為.

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）平面底面，，所以平面，………1分     
  所以,  .……2分
如圖，以為原點建立空間直角坐標系.
則………3分
，，
所以，，……………4分
又由平面，可得，所以平面.……………6分
（Ⅱ）平面的法向量為，…………………………………………7分
，，
所以， ………………………………………………………………8分
設平面的法向量為，，，
由，，得
所以，，………………………………………………….……9分
所以，………………………………………………………….…10分
所以，……………………...……11分
注意到，得.   …………………………….………………12分   
法二：（Ⅰ）∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD面PCD，且PD⊥CD
∴PD⊥面ABCD，………1分 又BC面ABCD，∴BC⊥PD    ①…. .…..……2分
取CD中點E，連結BE，則BE⊥CD，且BE=1
在Rt△ABD中，，在Rt△BCE中，BC=. .……………………...……4分
∵, ∴BC⊥BD   ②………………...……5分
由①、②且PD∩BD=D
∴BC⊥面PBD.            ……….………………………………………….…...……6分
（Ⅱ）過Q作QF//BC交PB于F，過F作FG⊥BD于G，連結 GQ.
∵BC⊥面PBD，QF//BC
∴QF⊥面PBD，∴FG為QG在面PBD上的射影，
又∵BD⊥FG  ∴BD⊥QG
∴∠FGQ為二面角Q-BD-P的平面角；由題意，∠FGQ="45°." …………….…...……8分
設PQ=x，易知
∵FQ//BC，∴

∵FG//PD∴………………..…...……10分
在Rt△FGQ中，∠FGQ=45°
∴FQ=FG，即   ∴……..….........……11分
∵    ∴      ∴……..…............……12分

略