Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性：
（2）若函數(shù)的圖像上存在不同兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，使得在點(diǎn)處的切線與直線平行或重合，則說函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，切線叫做函數(shù)的“中值平衡切線”。試判斷函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說明理由.

Answer 1

（1）函數(shù)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”且函數(shù)的“中值平衡切線”有無數(shù)條，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”.

試題分析：(1)對(duì)進(jìn)行討論，求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0或小于0，求單調(diào)遞增或遞減區(qū)間；（2）先假設(shè)它是“中值平衡函數(shù)”，設(shè)出兩點(diǎn)，討論和的情況，看是否符合題意.
試題解析：（1）              1分
當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；  2分
當(dāng)即時(shí),由得到或，  4分
所以：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是；                            5分
當(dāng)即時(shí)，由得到：，
所以:當(dāng)時(shí),函數(shù)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是；  7分
（2）若函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，則存在（）使得
即，
即，（*）                     4分
當(dāng)時(shí)，（*）對(duì)任意的都成立，所以函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，且函數(shù)的“中值平衡切線”有無數(shù)條；                   8分
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則方程在區(qū)間上有解，      10分
記函數(shù)，則，       12分
所以當(dāng)時(shí)，，即方程在區(qū)間上無解，
即函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”.                     14分