Question

在平面直角坐標系中，已知三點A（m，n），B（n，t），C（t，m），直線AC的斜率與AB的斜率之和為

5

3

，AB恰好經(jīng)過拋物線x²=2p（y-q）的焦點F，且與拋物線交于P，Q兩點，則

PF

QF

的值為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先設出直線AB，AC的斜率，利用已知條件建立等式求得直線AB的斜率，進而利用點斜式表示出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求得關于x的方程，求得P，Q的坐標，進而利用斜率和橫坐標分別表示出|PF|，|QF|，最后求得其比值．

解答： 解：設k_AB=

t-m

n-m

，k_AC=

m-n

t-m

，
則

t-m

n-m

+

m-n

t-m

=

5

3

，
∵（n-m）•k_AB=t-n=（t-m）+（m-n），
∴

m-n

t-m

=-

1

kAB+1

，
∴k_AB-

1

kAB+1

=

5

3

，解得k_AB=-

4

3

或2（舍去），
∵直線AB過拋物線x²=2p（y-q）的焦點，和直線AB過拋物線x²=2py的焦點，對

PF

QF

的值沒有影響，故可研究AB過拋物線x²=2py的情況，
∴直線AB的方程為y=-

4

3

x+

p

2

，與拋物線聯(lián)立消去y，
整理得x²+

8p

3

x-p²=0，求得x=-3p或

p

3

．
∵拋物線x²=2py的焦點為（0，

p

2

），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
P在y軸左側(cè)，∴x₁=-3p，x₂=

p

3

∴|PF|=

1+k2

（|x₁-0|）=

1+k2

|x₁|，|QF|=

1+k2

（|x₂-0|）=

1+k2

x₂，
∴

PF

QF

=9．
同理P在y軸右側(cè)，∴

PF

QF

=

1

9

故答案為：9或

1

9

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系．一般思路是直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x或y，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題，找到問題的突破口．