Question

如圖，已知拋物線的方程為x²=2py（p＞0），過(guò)點(diǎn)A（0，-1）作直線l與拋物線相交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），連接BP，BQ，設(shè)QB，BP與x軸分別相交于M，N兩點(diǎn)．如果QB的斜率與PB的斜率的乘積為-3，則∠MBN的大小等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：設(shè)直線PQ的方程為：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立直線PQ方程與拋物線方程消掉y得x的二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理及斜率公式可求得k_BP+k_BQ=0，再由已知k_BP•k_BQ=-3，可解k_BP=

3

kBQ=-

3

，由此可知∠BNM與∠BMN的大小，由三角形內(nèi)角和定理可得∠MBN．

解答： 解：設(shè)直線PQ的方程為：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y=kx-1 x2=2py

，得x²-2pkx+2p=0，△＞0，
則x₁+x₂=2pk，x₁x₂=2p，kBP=

y1-1

x1

，kBQ=

y2-1

x2

，
k_BP+k_BQ=

kx1-2

x1

+

kx2-2

x2

=

2kx1x2-2(x1+x2)

x1x2

=

2k•2p-2•2pk

2p

=0，即k_BP+k_BQ=0①
又k_BP•k_BQ=-3②，
聯(lián)立①②解得k_BP=

3

，kBQ=-

3

，
所以∠BNM=

π

3

，∠BMN=

π

3

，
故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=

π

3

．
故答案為：

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線、拋物線方程及其位置關(guān)系等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)直線BP、BQ斜率互為相反數(shù)．