Question

【題目】如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四邊形ABEF是正方形，且平面ABEF⊥平面ABCD，M為AF的中點， （I）求證：AC⊥BM；
（II）求異面直線CE與BM所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：∵四邊形ABEF為正方形，∴BE⊥AB．

∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，BE平面ABEF．

∴BE⊥平面ABCD．

∵AC平面ABCD，∴BE⊥AC．

設(shè)AD=1，則 ，

∴AC⊥AB且AB∩BE=B，

∴AC⊥平面ABEF，又BM平面ABEF．∴AC⊥BM．

（II）取BC的中點記為Q，BE的中點記為N，連接MN，QN，DQ，

易得 ．

在直角梯形ABCD中，由BC=2AD=2DC，

可得 ，

∴四邊形DMNQ為平行四邊形，

可得DM∥QN．

故DM∥CE，

那么∠DMB即為異面直線CE與BM所成的角（或其補角）

設(shè)BC=2a，則AD=DC=a，

可得 ． ．

得異面直線CE與BM所成角的余弦值為 ．

【解析】（I）線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，要證明AC⊥BM；只需證明BE⊥平面ABCD，即可．（II）取BC的中點記為Q，BE的中點記為N，連接MN，QN，DQ，易得 ．在直角梯形ABCD中，由BC=2AD=2DC可得 ，所以四邊形DMNQ為平行四邊形，可得DM∥QN．故DM∥CE，∠DMB即為異面直線CE與BM所成的角（或其補角），利用余弦定理求解即可．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．