Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)．

（1）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）設(shè)（1）中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且點(diǎn)Q滿足 ．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E﹣l﹣C的大小為β．求證：sinθ=sinαsinβ．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線l∥平面PAC，證明如下：

連接EF，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，

又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF∥平面ABC．

而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．

因?yàn)閘平面PAC，EF平面PAC，所以直線l∥平面PAC．

（2）解：（綜合法）如圖1，連接BD，由（1）可知交線l即為直線BD，且l∥AC．

因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．

已知PC⊥平面ABC，而l平面ABC，所以PC⊥l．

而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．

連接BE，BF，因?yàn)锽F平面PBC，所以l⊥BF．

故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．

由 ，作DQ∥CP，且 ．

連接PQ，DF，因?yàn)镕是CP的中點(diǎn)，CP=2PF，所以DQ=PF，

從而四邊形DQPF是平行四邊形，PQ∥FD．

連接CD，因?yàn)镻C⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC內(nèi)的射影，

故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．

又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，

于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分別可得 ，

從而 ．

（向量法）如圖2，由 ，作DQ∥CP，且 ．

連接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交線l即為直線BD．

以點(diǎn)C為原點(diǎn)，向量 所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CA=a，CB=b，CP=2c，則有 ．

于是 ，

∴ = ，從而 ，

又取平面ABC的一個(gè)法向量為 ，可得 ，

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為 ，

所以由 可得 取 =（0，c，b），

于是 ，從而 ．

故 ，即sinθ=sinαsinβ．

【解析】（1）直線l∥平面PAC．連接EF，利用三角形的中位線定理可得，EF∥AC；利用線面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC．由線面平行的性質(zhì)定理可得EF∥l．再利用線面平行的判定定理即可證明直線l∥平面PAC．（2）綜合法：利用線面垂直的判定定理可證明l⊥平面PBC．連接BE，BF，因?yàn)锽F平面PBC，所以l⊥BC．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC內(nèi)的射影，故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分別利用三個(gè)直角三角形的邊角關(guān)系即可證明結(jié)論；
向量法：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，向量 所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與平面之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，掌握直線在平面內(nèi)—有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；直線與平面相交—有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；直線在平面平行—沒有公共點(diǎn)，以及對(duì)直線與平面平行的判定的理解，了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行．