Question

 如圖，ABCD為直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P為平面ABCD外一點，且PB⊥BD.

(1) 求證：PA⊥BD；

(2) 若PC與CD不垂直，求證：PA≠PD.

Answer 1

證明：(1) 因為ABCD為直角梯形，AD＝AB＝BD，

所以AD²＝AB²＋BD²，因此AB⊥BD.

又PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PB平面PAB，

所以BD⊥平面PAB，

又PA平面PAB，所以PA⊥BD.

(2) 假設(shè)PA＝PD，取AD中點N，連結(jié)PN、BN，

則PN⊥AD，BN⊥AD，且PN∩BN＝N，

所以AD⊥平面PNB，得PB⊥AD.

又PB⊥BD，且AD∩BD＝D，得PB⊥平面ABCD，所以PB⊥CD.又因為BC⊥CD，且PB∩BC＝B，所以CD⊥平面PBC，所以CD⊥PC，與已知條件PC與CD不垂直矛盾，所以PA≠PD.